Derivada de y=tan(x(e^x))

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(e^{x} x \right)} = \frac{\sin{\left(e^{x} x \right)}}{\cos{\left(e^{x} x \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{x} x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{x} x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{x} x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x} x$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Como resultado de: $e^{x} + x e^{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(e^{x} + x e^{x}\right) \cos{\left(e^{x} x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{x} x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x} x$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Como resultado de: $e^{x} + x e^{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \left(e^{x} + x e^{x}\right) \sin{\left(e^{x} x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(e^{x} + x e^{x}\right) \sin^{2}{\left(e^{x} x \right)} + \left(e^{x} + x e^{x}\right) \cos^{2}{\left(e^{x} x \right)}}{\cos^{2}{\left(e^{x} x \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + 1\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x e^{x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x e^{x} \right)}}$