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y=lnx/x^3+x^2sinx

Derivada de y=lnx/x^3+x^2sinx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
log(x)    2       
------ + x *sin(x)
   3              
  x               
x2sin(x)+log(x)x3x^{2} \sin{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}
log(x)/x^3 + x^2*sin(x)
Solución detallada
  1. diferenciamos x2sin(x)+log(x)x3x^{2} \sin{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=log(x)f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y g(x)=x3g{\left(x \right)} = x^{3}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Derivado log(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      3x2log(x)+x2x6\frac{- 3 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2}}{x^{6}}

    2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=x2f{\left(x \right)} = x^{2}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

      g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de: x2cos(x)+2xsin(x)x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}

    Como resultado de: x2cos(x)+2xsin(x)+3x2log(x)+x2x6x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + \frac{- 3 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2}}{x^{6}}

  2. Simplificamos:

    x5(xcos(x)+2sin(x))3log(x)+1x4\frac{x^{5} \left(x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 3 \log{\left(x \right)} + 1}{x^{4}}


Respuesta:

x5(xcos(x)+2sin(x))3log(x)+1x4\frac{x^{5} \left(x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) - 3 \log{\left(x \right)} + 1}{x^{4}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100000100000
Primera derivada [src]
 1      2          3*log(x)             
---- + x *cos(x) - -------- + 2*x*sin(x)
   3                   4                
x*x                   x                 
x2cos(x)+2xsin(x)+1xx33log(x)x4x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{x x^{3}} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{4}}
Segunda derivada [src]
  7                2                       12*log(x)
- -- + 2*sin(x) - x *sin(x) + 4*x*cos(x) + ---------
   5                                            5   
  x                                            x    
x2sin(x)+4xcos(x)+2sin(x)+12log(x)x57x5- x^{2} \sin{\left(x \right)} + 4 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{12 \log{\left(x \right)}}{x^{5}} - \frac{7}{x^{5}}
Tercera derivada [src]
           47    2          60*log(x)             
6*cos(x) + -- - x *cos(x) - --------- - 6*x*sin(x)
            6                    6                
           x                    x                 
x2cos(x)6xsin(x)+6cos(x)60log(x)x6+47x6- x^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 x \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)} - \frac{60 \log{\left(x \right)}}{x^{6}} + \frac{47}{x^{6}}
Gráfico
Derivada de y=lnx/x^3+x^2sinx