Derivada de y=ln(tg(x/3))

Solución

Ha introducido [src]

   /   /x\\
log|tan|-||
   \   \3//

$$\log{\left(\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} \right)}$$

log(tan(x/3))

Solución detallada

Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$ .
Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$ :
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{2}{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2}{3 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

       2/x\
    tan |-|
1       \3/
- + -------
3      3   
-----------
      /x\  
   tan|-|  
      \3/

$$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{1}{3}}{\tan{\left(\frac{x}{3} \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

                             2
                /       2/x\\ 
                |1 + tan |-|| 
         2/x\   \        \3// 
2 + 2*tan |-| - --------------
          \3/         2/x\    
                   tan |-|    
                       \3/    
------------------------------
              9

$$\frac{- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 2}{9}$$

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Tercera derivada [src]

                /                        2                  \
                |           /       2/x\\      /       2/x\\|
                |           |1 + tan |-||    2*|1 + tan |-|||
  /       2/x\\ |     /x\   \        \3//      \        \3//|
2*|1 + tan |-||*|2*tan|-| + -------------- - ---------------|
  \        \3// |     \3/         3/x\               /x\    |
                |              tan |-|            tan|-|    |
                \                  \3/               \3/    /
-------------------------------------------------------------
                              27

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)}{\tan{\left(\frac{x}{3} \right)}} + 2 \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)}{27}$$

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Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Derivada de y=ln(tg(x/3))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución