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Solución

Ha introducido [src]

  sin(t)  
----------
1 - cos(t)

$$\frac{\sin{\left(t \right)}}{1 - \cos{\left(t \right)}}$$

sin(t)/(1 - cos(t))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

$f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = 1 - \cos{\left(t \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$ :
1. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$ :
1. diferenciamos $1 - \cos{\left(t \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$
    Entonces, como resultado: $\sin{\left(t \right)}$
  Como resultado de: $\sin{\left(t \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)} - \sin^{2}{\left(t \right)}}{\left(1 - \cos{\left(t \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{\cos{\left(t \right)} - 1}$

Respuesta:

$\frac{1}{\cos{\left(t \right)} - 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                   2      
  cos(t)        sin (t)   
---------- - -------------
1 - cos(t)               2
             (1 - cos(t))

$$\frac{\cos{\left(t \right)}}{1 - \cos{\left(t \right)}} - \frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{\left(1 - \cos{\left(t \right)}\right)^{2}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/          2                           \       
|     2*sin (t)                        |       
|    ----------- + cos(t)              |       
|    -1 + cos(t)              2*cos(t) |       
|1 - -------------------- - -----------|*sin(t)
\        -1 + cos(t)        -1 + cos(t)/       
-----------------------------------------------
                  -1 + cos(t)

$$\frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(t \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1}}{\cos{\left(t \right)} - 1} - \frac{2 \cos{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1}\right) \sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                      /                          2      \                                           
                 2    |       6*cos(t)      6*sin (t)   |     /      2             \                
              sin (t)*|-1 + ----------- + --------------|     | 2*sin (t)          |                
      2               |     -1 + cos(t)                2|   3*|----------- + cos(t)|*cos(t)         
 3*sin (t)            \                   (-1 + cos(t)) /     \-1 + cos(t)         /                
----------- - ------------------------------------------- - ------------------------------- + cos(t)
-1 + cos(t)                   -1 + cos(t)                             -1 + cos(t)                   
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                            -1 + cos(t)

$$\frac{\cos{\left(t \right)} - \frac{3 \left(\cos{\left(t \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1}\right) \cos{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1} - \frac{\left(-1 + \frac{6 \cos{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left(t \right)}}{\left(\cos{\left(t \right)} - 1\right)^{2}}\right) \sin^{2}{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1} + \frac{3 \sin^{2}{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)} - 1}}{\cos{\left(t \right)} - 1}$$

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