Derivada de y=ln√x×e^x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 x}$

   $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Como resultado de: $e^{x} \log{\left(\sqrt{x} \right)} + \frac{e^{x}}{2 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x \log{\left(x \right)} + 1\right) e^{x}}{2 x}$

Respuesta:

$\frac{\left(x \log{\left(x \right)} + 1\right) e^{x}}{2 x}$