Derivada de 4*x/sqrt(x^3+5*x^2-2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 4 x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + 5 x^{2} - 2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $4$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{3} + 5 x^{2} - 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 5 x^{2} - 2\right)$:

      1. diferenciamos $x^{3} + 5 x^{2} - 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $10 x$

         Como resultado de: $3 x^{2} + 10 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 x^{2} + 10 x}{2 \sqrt{x^{3} + 5 x^{2} - 2}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{2 x \left(3 x^{2} + 10 x\right)}{\sqrt{x^{3} + 5 x^{2} - 2}} + 4 \sqrt{x^{3} + 5 x^{2} - 2}}{x^{3} + 5 x^{2} - 2}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{2 x^{3} + 8}{\left(x^{3} + 5 x^{2} - 2\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{3} + 8}{\left(x^{3} + 5 x^{2} - 2\right)^{\frac{3}{2}}}$