Sr Examen

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y=e^(-4*x^2)*sqrt(x-4*x^2)
Derivada de la función/ 4*x^2/ y=e^(-4*x^2)*sqrt(x-4*x^2)

Derivada de y=e^(-4*x^2)*sqrt(x-4*x^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     2    __________
 -4*x    /        2 
E     *\/  x - 4*x
e−4x2−4x2+xe^{- 4 x^{2}} \sqrt{- 4 x^{2} + x} 
E^(-4*x^2)*sqrt(x - 4*x^2)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=−4x2+xf{\left(x \right)} = \sqrt{- 4 x^{2} + x} y g(x)=e4x2g{\left(x \right)} = e^{4 x^{2}}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=−4x2+xu = - 4 x^{2} + x.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(−4x2+x)\frac{d}{d x} \left(- 4 x^{2} + x\right):

      1. diferenciamos −4x2+x- 4 x^{2} + x miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Entonces, como resultado: −8x- 8 x

        Como resultado de: 1−8x1 - 8 x

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      1−8x2−4x2+x\frac{1 - 8 x}{2 \sqrt{- 4 x^{2} + x}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=4x2u = 4 x^{2}.

    2. Derivado eue^{u} es.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx4x2\frac{d}{d x} 4 x^{2}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Entonces, como resultado: 8x8 x

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      8xe4x28 x e^{4 x^{2}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (−8x−4x2+xe4x2+(1−8x)e4x22−4x2+x)e−8x2\left(- 8 x \sqrt{- 4 x^{2} + x} e^{4 x^{2}} + \frac{\left(1 - 8 x\right) e^{4 x^{2}}}{2 \sqrt{- 4 x^{2} + x}}\right) e^{- 8 x^{2}}

  2. Simplificamos:

    (−16x2(1−4x)−8x+1)e−4x22x(1−4x)\frac{\left(- 16 x^{2} \left(1 - 4 x\right) - 8 x + 1\right) e^{- 4 x^{2}}}{2 \sqrt{x \left(1 - 4 x\right)}}

Respuesta:

(−16x2(1−4x)−8x+1)e−4x22x(1−4x)\frac{\left(- 16 x^{2} \left(1 - 4 x\right) - 8 x + 1\right) e^{- 4 x^{2}}}{2 \sqrt{x \left(1 - 4 x\right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.150.25
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                 2                           
             -4*x           __________      2
(1/2 - 4*x)*e              /        2   -4*x 
------------------ - 8*x*\/  x - 4*x  *e     
     __________                              
    /        2                               
  \/  x - 4*x
−8x−4x2+xe−4x2+(12−4x)e−4x2−4x2+x- 8 x \sqrt{- 4 x^{2} + x} e^{- 4 x^{2}} + \frac{\left(\frac{1}{2} - 4 x\right) e^{- 4 x^{2}}}{\sqrt{- 4 x^{2} + x}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
/                                                2                    \       
|                                      (-1 + 8*x)                     |       
|                                 16 - ------------                   |      2
|    _____________ /        2\         x*(-1 + 4*x)     8*x*(-1 + 8*x)|  -4*x 
|8*\/ x*(1 - 4*x) *\-1 + 8*x / - ------------------- + ---------------|*e     
|                                    _______________     _____________|       
\                                4*\/ -x*(-1 + 4*x)    \/ x*(1 - 4*x) /
(8x(8x−1)x(1−4x)+8x(1−4x)(8x2−1)−16−(8x−1)2x(4x−1)4−x(4x−1))e−4x2\left(\frac{8 x \left(8 x - 1\right)}{\sqrt{x \left(1 - 4 x\right)}} + 8 \sqrt{x \left(1 - 4 x\right)} \left(8 x^{2} - 1\right) - \frac{16 - \frac{\left(8 x - 1\right)^{2}}{x \left(4 x - 1\right)}}{4 \sqrt{- x \left(4 x - 1\right)}}\right) e^{- 4 x^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
/                                                                     /               2 \                /               2 \\       
|                                                                     |     (-1 + 8*x)  |                |     (-1 + 8*x)  ||       
|                                                   /        2\   6*x*|16 - ------------|   3*(-1 + 8*x)*|16 - ------------||      2
|         _____________ /        2\   12*(-1 + 8*x)*\-1 + 8*x /       \     x*(-1 + 4*x)/                \     x*(-1 + 4*x)/|  -4*x 
|- 64*x*\/ x*(1 - 4*x) *\-3 + 8*x / - ------------------------- + ----------------------- - --------------------------------|*e     
|                                            _____________             _______________                             3/2      |       
\                                          \/ x*(1 - 4*x)            \/ -x*(-1 + 4*x)             8*(-x*(-1 + 4*x))         /
(−64xx(1−4x)(8x2−3)+6x(16−(8x−1)2x(4x−1))−x(4x−1)−3(16−(8x−1)2x(4x−1))(8x−1)8(−x(4x−1))32−12(8x−1)(8x2−1)x(1−4x))e−4x2\left(- 64 x \sqrt{x \left(1 - 4 x\right)} \left(8 x^{2} - 3\right) + \frac{6 x \left(16 - \frac{\left(8 x - 1\right)^{2}}{x \left(4 x - 1\right)}\right)}{\sqrt{- x \left(4 x - 1\right)}} - \frac{3 \left(16 - \frac{\left(8 x - 1\right)^{2}}{x \left(4 x - 1\right)}\right) \left(8 x - 1\right)}{8 \left(- x \left(4 x - 1\right)\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{12 \left(8 x - 1\right) \left(8 x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x \left(1 - 4 x\right)}}\right) e^{- 4 x^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=e^(-4*x^2)*sqrt(x-4*x^2)
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