Derivada de cot(x*cos(x))

Solución

Ha introducido [src]

cot(x*cos(x))

$$\cot{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$$

cot(x*cos(x))

Solución detallada

Hay varias formas de calcular esta derivada.
Method #1
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$
2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$ .
3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = x \cos{\left(x \right)}$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x \cos{\left(x \right)}$ :
      
      Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = x \cos{\left(x \right)}$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x \cos{\left(x \right)}$ :
      
      Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$
Method #2
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} = \frac{\cos{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = x \cos{\left(x \right)}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x \cos{\left(x \right)}$ :
    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = x \cos{\left(x \right)}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x \cos{\left(x \right)}$ :
    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} - \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/        2          \                     
\-1 - cot (x*cos(x))/*(-x*sin(x) + cos(x))

$$\left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(- \cot^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} - 1\right)$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/       2          \ /                                            2              \
\1 + cot (x*cos(x))/*\2*sin(x) + x*cos(x) + 2*(-cos(x) + x*sin(x)) *cot(x*cos(x))/

$$\left(\cot^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + 2 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \cot{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

/       2          \ /                                            3 /       2          \                         3    2                                                                       \
\1 + cot (x*cos(x))/*\3*cos(x) - x*sin(x) + 2*(-cos(x) + x*sin(x)) *\1 + cot (x*cos(x))/ + 4*(-cos(x) + x*sin(x)) *cot (x*cos(x)) + 6*(-cos(x) + x*sin(x))*(2*sin(x) + x*cos(x))*cot(x*cos(x))/

$$\left(\cot^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(- x \sin{\left(x \right)} + 2 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{3} \left(\cot^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + 1\right) + 4 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{3} \cot^{2}{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + 6 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \cos{\left(x \right)} \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right)$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de cot(x*cos(x))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2