Derivada de e^(2*t)*cos(t)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

   $f{\left(t \right)} = e^{2 t}$; calculamos $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 t$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 2 t$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 e^{2 t}$

   $g{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}$; calculamos $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(t \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

   Como resultado de: $- 2 e^{2 t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 2 e^{2 t} \cos^{2}{\left(t \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(\sqrt{2} \cos{\left(2 t + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) e^{2 t}$

Respuesta:

$\left(\sqrt{2} \cos{\left(2 t + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) e^{2 t}$