Derivada de x-tg(cosx)

1. diferenciamos $x - \tan{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{- \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{- \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} + 1$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} + 1$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} + 1$