Sr Examen

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xln(x^2-2)-2x+sqrt(2)ln(x-sqrt(2)/(x+sqrt(2)))

Derivada de xln(x^2-2)-2x+sqrt(2)ln(x-sqrt(2)/(x+sqrt(2)))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                               /        ___  \
     / 2    \           ___    |      \/ 2   |
x*log\x  - 2/ - 2*x + \/ 2 *log|x - ---------|
                               |          ___|
                               \    x + \/ 2 /
(xlog(x22)2x)+2log(x2x+2)\left(x \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2 x\right) + \sqrt{2} \log{\left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right)}
x*log(x^2 - 2) - 2*x + sqrt(2)*log(x - sqrt(2)/(x + sqrt(2)))
Solución detallada
  1. diferenciamos (xlog(x22)2x)+2log(x2x+2)\left(x \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2 x\right) + \sqrt{2} \log{\left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right)} miembro por miembro:

    1. diferenciamos xlog(x22)2xx \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2 x miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=log(x22)g{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 2 \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x22u = x^{2} - 2.

        2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x22)\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2\right):

          1. diferenciamos x22x^{2} - 2 miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            2. La derivada de una constante 2-2 es igual a cero.

            Como resultado de: 2x2 x

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2xx22\frac{2 x}{x^{2} - 2}

        Como resultado de: 2x2x22+log(x22)\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2} + \log{\left(x^{2} - 2 \right)}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Entonces, como resultado: 2-2

      Como resultado de: 2x2x22+log(x22)2\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2} + \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=x2x+2u = x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}.

      2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2x+2)\frac{d}{d x} \left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\right):

        1. diferenciamos x2x+2x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos u=x+2u = x + \sqrt{2}.

            2. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+2)\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{2}\right):

              1. diferenciamos x+2x + \sqrt{2} miembro por miembro:

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                2. La derivada de una constante 2\sqrt{2} es igual a cero.

                Como resultado de: 11

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              1(x+2)2- \frac{1}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}

            Entonces, como resultado: 2(x+2)2\frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}

          Como resultado de: 1+2(x+2)21 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        1+2(x+2)2x2x+2\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}}{x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}}

      Entonces, como resultado: 2(1+2(x+2)2)x2x+2\frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)}{x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}}

    Como resultado de: 2x2x22+2(1+2(x+2)2)x2x+2+log(x22)2\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2} + \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)}{x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}} + \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2

  2. Simplificamos:

    2x2x22+2(1+2(x+2)2)x2x+2+log(x22)2\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2} + \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)}{x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}} + \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2


Respuesta:

2x2x22+2(1+2(x+2)2)x2x+2+log(x22)2\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2} + \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)}{x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}} + \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100100
Primera derivada [src]
                    /         ___    \              
                ___ |       \/ 2     |              
              \/ 2 *|1 + ------------|              
                    |               2|              
         2          |    /      ___\ |              
      2*x           \    \x + \/ 2 / /      / 2    \
-2 + ------ + ------------------------ + log\x  - 2/
      2                    ___                      
     x  - 2              \/ 2                       
                   x - ---------                    
                             ___                    
                       x + \/ 2                     
2x2x22+2(1+2(x+2)2)x2x+2+log(x22)2\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 2} + \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)}{x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}} + \log{\left(x^{2} - 2 \right)} - 2
Segunda derivada [src]
                                                                                2
                                                              /         ___    \ 
                                                          ___ |       \/ 2     | 
                                                        \/ 2 *|1 + ------------| 
                                                              |               2| 
        3                                                     |    /      ___\ | 
     4*x                    4                   6*x           \    \x + \/ 2 / / 
- ---------- - ---------------------------- + ------- - -------------------------
           2              3 /        ___  \         2                       2    
  /      2\    /      ___\  |      \/ 2   |   -2 + x         /        ___  \     
  \-2 + x /    \x + \/ 2 / *|x - ---------|                  |      \/ 2   |     
                            |          ___|                  |x - ---------|     
                            \    x + \/ 2 /                  |          ___|     
                                                             \    x + \/ 2 /     
4x3(x22)2+6xx222(1+2(x+2)2)2(x2x+2)24(x+2)3(x2x+2)- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} + \frac{6 x}{x^{2} - 2} - \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{2}}{\left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\right)^{2}} - \frac{4}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{3} \left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\right)}
Tercera derivada [src]
  /                                                                                           3                                \
  |                                                                         /         ___    \           /         ___    \    |
  |                                                                     ___ |       \/ 2     |           |       \/ 2     |    |
  |                                                                   \/ 2 *|1 + ------------|         6*|1 + ------------|    |
  |                                                                         |               2|           |               2|    |
  |                2                                           4            |    /      ___\ |           |    /      ___\ |    |
  |   3        12*x                    6                    8*x             \    \x + \/ 2 / /           \    \x + \/ 2 / /    |
2*|------- - ---------- + ---------------------------- + ---------- + ------------------------- + -----------------------------|
  |      2            2              4 /        ___  \            3                       3                                   2|
  |-2 + x    /      2\    /      ___\  |      \/ 2   |   /      2\         /        ___  \                   3 /        ___  \ |
  |          \-2 + x /    \x + \/ 2 / *|x - ---------|   \-2 + x /         |      \/ 2   |        /      ___\  |      \/ 2   | |
  |                                    |          ___|                     |x - ---------|        \x + \/ 2 / *|x - ---------| |
  |                                    \    x + \/ 2 /                     |          ___|                     |          ___| |
  \                                                                        \    x + \/ 2 /                     \    x + \/ 2 / /
2(8x4(x22)312x2(x22)2+2(1+2(x+2)2)3(x2x+2)3+6(1+2(x+2)2)(x+2)3(x2x+2)2+3x22+6(x+2)4(x2x+2))2 \left(\frac{8 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{12 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} + \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{3}}{\left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\right)^{3}} + \frac{6 \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{2}}\right)}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{3} \left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{3}{x^{2} - 2} + \frac{6}{\left(x + \sqrt{2}\right)^{4} \left(x - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\right)}\right)
Gráfico
Derivada de xln(x^2-2)-2x+sqrt(2)ln(x-sqrt(2)/(x+sqrt(2)))