Derivada de xln(tgx)

Solución

Ha introducido [src]

x*log(tan(x))

$$x \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

x*log(tan(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}$
Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$
Simplificamos:

$\frac{2 x}{\sin{\left(2 x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$

Respuesta:

$\frac{2 x}{\sin{\left(2 x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  /       2   \              
x*\1 + tan (x)/              
--------------- + log(tan(x))
     tan(x)

$$\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

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Segunda derivada [src]

  /                             2\                  
  |                /       2   \ |     /       2   \
  |         2      \1 + tan (x)/ |   2*\1 + tan (x)/
x*|2 + 2*tan (x) - --------------| + ---------------
  |                      2       |        tan(x)    
  \                   tan (x)    /

$$x \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                               2                     /                        2                  \
                  /       2   \                      |           /       2   \      /       2   \|
         2      3*\1 + tan (x)/        /       2   \ |           \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/|
6 + 6*tan (x) - ---------------- + 2*x*\1 + tan (x)/*|2*tan(x) + -------------- - ---------------|
                       2                             |                 3               tan(x)    |
                    tan (x)                          \              tan (x)                      /

$$2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + 2 \tan{\left(x \right)}\right) - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 6 \tan^{2}{\left(x \right)} + 6$$

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Gráfico

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