Derivada de y*y*sin(y)^3

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = y y$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

      $f{\left(y \right)} = y$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

      $g{\left(y \right)} = y$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

      Como resultado de: $2 y$

   $g{\left(y \right)} = \sin^{3}{\left(y \right)}$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(y \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \sin{\left(y \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d y} \sin{\left(y \right)} = \cos{\left(y \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}$

   Como resultado de: $3 y^{2} \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} + 2 y \sin^{3}{\left(y \right)}$

2. Simplificamos:

   $y \left(3 y \cos{\left(y \right)} + 2 \sin{\left(y \right)}\right) \sin^{2}{\left(y \right)}$

Respuesta:

$y \left(3 y \cos{\left(y \right)} + 2 \sin{\left(y \right)}\right) \sin^{2}{\left(y \right)}$