Derivada de (1+e^x)/(1-e^x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x} + 1$ y $g{\left(x \right)} = 1 - e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $e^{x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $1 - e^{x}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Entonces, como resultado: $- e^{x}$

      Como resultado de: $- e^{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(1 - e^{x}\right) e^{x} + \left(e^{x} + 1\right) e^{x}}{\left(1 - e^{x}\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{2 \sinh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{2 \sinh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$