Sr Examen

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(z+i)^3*((z^2-2*i*z-1)/(z^2+1)^3*(z-3))

Derivada de (z+i)^3*((z^2-2*i*z-1)/(z^2+1)^3*(z-3))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          2                    
       3 z  - 2*I*z - 1        
(z + I) *--------------*(z - 3)
                   3           
           / 2    \            
           \z  + 1/            
$$\frac{\left(z^{2} - 2 i z\right) - 1}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}} \left(z - 3\right) \left(z + i\right)^{3}$$
(z + i)^3*(((z^2 - 2*i*z - 1)/(z^2 + 1)^3)*(z - 3))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    y .

    Para calcular :

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ; calculamos :

      1. Sustituimos .

      2. Según el principio, aplicamos: tenemos

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

        1. diferenciamos miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: tenemos

          Como resultado de:

        Como resultado de la secuencia de reglas:

      ; calculamos :

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: tenemos

        Como resultado de:

      ; calculamos :

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: tenemos

        3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: tenemos

          Entonces, como resultado:

        Como resultado de:

      Como resultado de:

    Para calcular :

    1. Sustituimos .

    2. Según el principio, aplicamos: tenemos

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: tenemos

        Como resultado de:

      Como resultado de la secuencia de reglas:

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

  2. Simplificamos:


Respuesta:

Gráfica
Primera derivada [src]
         /        /                 / 2            \\    2            \            2         / 2            \
       3 |        |-2*I + 2*z   6*z*\z  - 2*I*z - 1/|   z  - 2*I*z - 1|   3*(z + I) *(z - 3)*\z  - 2*I*z - 1/
(z + I) *|(z - 3)*|---------- - --------------------| + --------------| + -----------------------------------
         |        |        3                 4      |             3   |                        3             
         |        |/ 2    \          / 2    \       |     / 2    \    |                / 2    \              
         \        \\z  + 1/          \z  + 1/       /     \z  + 1/    /                \z  + 1/              
$$\frac{3 \left(z - 3\right) \left(z + i\right)^{2} \left(\left(z^{2} - 2 i z\right) - 1\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}} + \left(z + i\right)^{3} \left(\left(z - 3\right) \left(- \frac{6 z \left(\left(z^{2} - 2 i z\right) - 1\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{4}} + \frac{2 z - 2 i}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}}\right) + \frac{\left(z^{2} - 2 i z\right) - 1}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}}\right)$$
Segunda derivada [src]
          /         /                      /       /         2 \                                \                       \                                                                                                       \
          |         |                      |       |      8*z  | /     2        \               |                       |                                                                                                       |
          |         |                      |     3*|-1 + ------|*\1 - z  + 2*I*z/               |                       |                                                                                                       |
          |         |                      |       |          2|                                |       /     2        \|                                           /                    /            /     2        \\        \|
          |       2 |                      |       \     1 + z /                    12*z*(z - I)|   6*z*\1 - z  + 2*I*z/|              /     2        \             |     2              |        3*z*\1 - z  + 2*I*z/|        ||
2*(I + z)*|(I + z) *|-2*I + 2*z - (-3 + z)*|-1 + -------------------------------- + ------------| + --------------------| - 3*(-3 + z)*\1 - z  + 2*I*z/ - 3*(I + z)*|1 - z  - 2*(-3 + z)*|z - I + --------------------| + 2*I*z||
          |         |                      |                       2                        2   |               2       |                                           |                    |                    2       |        ||
          \         \                      \                  1 + z                    1 + z    /          1 + z        /                                           \                    \               1 + z        /        //
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                    3                                                                                                            
                                                                                                            /     2\                                                                                                             
                                                                                                            \1 + z /                                                                                                             
$$\frac{2 \left(z + i\right) \left(- 3 \left(z - 3\right) \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right) + \left(z + i\right)^{2} \left(2 z + \frac{6 z \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1} - \left(z - 3\right) \left(\frac{12 z \left(z - i\right)}{z^{2} + 1} - 1 + \frac{3 \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right) \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1}\right) - 2 i\right) - 3 \left(z + i\right) \left(- z^{2} + 2 i z - 2 \left(z - 3\right) \left(z + \frac{3 z \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1} - i\right) + 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}}$$
Tercera derivada [src]
  /           /                /                                     /         2 \                 \                                                  \                                                                                                                                                                                                                        \
  |           |                |                                     |     10*z  | /     2        \|                                                  |                                                                                                                                                                                                                        |
  |           |                |                                 4*z*|-3 + ------|*\1 - z  + 2*I*z/|                                                  |                                                                                                                                                                                                                        |
  |           |                |         /         2 \               |          2|                 |     /         2 \                                |                                                                                                                   /                      /       /         2 \                                \                       \|
  |           |                |         |      8*z  |               \     1 + z /                 |     |      8*z  | /     2        \               |                                                                                                                   |                      |       |      8*z  | /     2        \               |                       ||
  |           |     2*(-3 + z)*|-3*z + 3*|-1 + ------|*(z - I) + ----------------------------------|   3*|-1 + ------|*\1 - z  + 2*I*z/               |                                                                                                                   |                      |     3*|-1 + ------|*\1 - z  + 2*I*z/               |                       ||
  |           |                |         |          2|                              2              |     |          2|                                |                                         /                    /            /     2        \\        \              |                      |       |          2|                                |       /     2        \||
  |         3 |                \         \     1 + z /                         1 + z               /     \     1 + z /                    12*z*(z - I)|            /     2        \             |     2              |        3*z*\1 - z  + 2*I*z/|        |            2 |                      |       \     1 + z /                    12*z*(z - I)|   6*z*\1 - z  + 2*I*z/||
6*|- (I + z) *|-1 - -------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------- + ------------| - (-3 + z)*\1 - z  + 2*I*z/ - 3*(I + z)*|1 - z  - 2*(-3 + z)*|z - I + --------------------| + 2*I*z| + 3*(I + z) *|-2*I + 2*z - (-3 + z)*|-1 + -------------------------------- + ------------| + --------------------||
  |           |                                               2                                                          2                        2   |                                         |                    |                    2       |        |              |                      |                       2                        2   |               2       ||
  \           \                                          1 + z                                                      1 + z                    1 + z    /                                         \                    \               1 + z        /        /              \                      \                  1 + z                    1 + z    /          1 + z        //
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                           3                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                   /     2\                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                   \1 + z /                                                                                                                                                                                     
$$\frac{6 \left(- \left(z - 3\right) \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right) - \left(z + i\right)^{3} \left(\frac{12 z \left(z - i\right)}{z^{2} + 1} - \frac{2 \left(z - 3\right) \left(- 3 z + \frac{4 z \left(\frac{10 z^{2}}{z^{2} + 1} - 3\right) \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1} + 3 \left(z - i\right) \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right)\right)}{z^{2} + 1} - 1 + \frac{3 \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right) \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1}\right) + 3 \left(z + i\right)^{2} \left(2 z + \frac{6 z \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1} - \left(z - 3\right) \left(\frac{12 z \left(z - i\right)}{z^{2} + 1} - 1 + \frac{3 \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right) \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1}\right) - 2 i\right) - 3 \left(z + i\right) \left(- z^{2} + 2 i z - 2 \left(z - 3\right) \left(z + \frac{3 z \left(- z^{2} + 2 i z + 1\right)}{z^{2} + 1} - i\right) + 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}}$$
Gráfico
Derivada de (z+i)^3*((z^2-2*i*z-1)/(z^2+1)^3*(z-3))