Derivada de соs(5x)ln((x+3)/2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x + 3}{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{x + 3}{2}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x + 3}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x + 3}$

   Como resultado de: $- 5 \log{\left(\frac{x + 3}{2} \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{x + 3}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 5 \left(x + 3\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}}{x + 3}$

Respuesta:

$\frac{- 5 \left(x + 3\right) \log{\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}}{x + 3}$