Derivada de y=(x^2-1)sin3x+lnx/x^2-x

1. diferenciamos $- x + \left(\left(x^{2} - 1\right) \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(x^{2} - 1\right) \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x^{2} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x^{2} - 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $2 x$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $3 \cos{\left(3 x \right)}$

         Como resultado de: $2 x \sin{\left(3 x \right)} + 3 \left(x^{2} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x}{x^{4}}$

      Como resultado de: $2 x \sin{\left(3 x \right)} + 3 \left(x^{2} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} + \frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x}{x^{4}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-1$

   Como resultado de: $2 x \sin{\left(3 x \right)} + 3 \left(x^{2} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} - 1 + \frac{- 2 x \log{\left(x \right)} + x}{x^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{3} \left(2 x \sin{\left(3 x \right)} + \left(3 x^{2} - 3\right) \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)} + 1}{x^{3}}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(2 x \sin{\left(3 x \right)} + \left(3 x^{2} - 3\right) \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)} + 1}{x^{3}}$