Derivada de x*sqrt(e^(-x^2))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{x^{2}}{2}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{2}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Entonces, como resultado: $x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + e^{\frac{x^{2}}{2}}\right) e^{- x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\left(1 - x^{2}\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Respuesta:

$\left(1 - x^{2}\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}}$