Derivada de y=(x^3-8)/sqrt((x^2+3*x-1))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3} - 8$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 3 x - 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{3} - 8$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-8$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

      Como resultado de: $3 x^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 3 x - 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x - 1\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 3 x - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $2 x + 3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{2} + 3 x - 1} - \frac{\left(2 x + 3\right) \left(x^{3} - 8\right)}{2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 1}}}{x^{2} + 3 x - 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 x^{4} + 15 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 24}{2 \left(x^{2} + 3 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 24}{2 \left(x^{2} + 3 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$