Derivada de y=cos^3tg^2√x^3-6/2x+ln3x

1. diferenciamos $\left(- 3 x + \cos^{3}{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) + \log{\left(3 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $- 3 x + \cos^{3}{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

         $g{\left(x \right)} = \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{8}$ tenemos $8 u^{7}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

                  1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = \sqrt{x}$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

                  1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{8 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \tan^{7}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

         Como resultado de: $\frac{8 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos^{3}{\left(x \right)} \tan^{7}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-3$

      Como resultado de: $\frac{8 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos^{3}{\left(x \right)} \tan^{7}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)} - 3$

   2. Sustituimos $u = 3 x$.

   3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x}$

   Como resultado de: $\frac{8 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos^{3}{\left(x \right)} \tan^{7}{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)} - 3 + \frac{1}{x}$

2. Simplificamos:

   $3 \sin^{3}{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)} - 3 + \frac{1}{x} + \frac{4 \sin^{7}{\left(\sqrt{x} \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{x} \cos^{9}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Respuesta:

$3 \sin^{3}{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(\sqrt{x} \right)} - 3 + \frac{1}{x} + \frac{4 \sin^{7}{\left(\sqrt{x} \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sqrt{x} \cos^{9}{\left(\sqrt{x} \right)}}$