Derivada de y=(x+5)^(3)sin(4*x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x + 5\right)^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 5$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 5\right)$:

      1. diferenciamos $x + 5$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \left(x + 5\right)^{2}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $4 \cos{\left(4 x \right)}$

   Como resultado de: $4 \left(x + 5\right)^{3} \cos{\left(4 x \right)} + 3 \left(x + 5\right)^{2} \sin{\left(4 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(x + 5\right)^{2} \left(\left(4 x + 20\right) \cos{\left(4 x \right)} + 3 \sin{\left(4 x \right)}\right)$

Respuesta:

$\left(x + 5\right)^{2} \left(\left(4 x + 20\right) \cos{\left(4 x \right)} + 3 \sin{\left(4 x \right)}\right)$