Derivada de y=(1/3)sin^3*x(6cosx+7)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(6 \cos{\left(x \right)} + 7\right) \sin^{3}{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 3$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = 6 \cos{\left(x \right)} + 7$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $6 \cos{\left(x \right)} + 7$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $- 6 \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- 6 \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $3 \left(6 \cos{\left(x \right)} + 7\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \sin^{4}{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(6 \cos{\left(x \right)} + 7\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{4}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 8 \sin^{2}{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)} + 6\right) \sin^{2}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\left(- 8 \sin^{2}{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)} + 6\right) \sin^{2}{\left(x \right)}$