Derivada de √(x)ln(√(x)+√(x+a)-√(x+a))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{a + x} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{a + x}\right) \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = - \sqrt{a + x} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{a + x}\right)$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(- \sqrt{a + x} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{a + x}\right)\right)$:

      1. diferenciamos $- \sqrt{a + x} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{a + x}\right)$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $\sqrt{x} + \sqrt{a + x}$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            2. Sustituimos $u = a + x$.

            3. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(a + x\right)$:

               1. diferenciamos $a + x$ miembro por miembro:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  2. La derivada de una constante $a$ es igual a cero.

                  Como resultado de: $1$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{1}{2 \sqrt{a + x}}$

            Como resultado de: $\frac{1}{2 \sqrt{a + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = a + x$.

            2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(a + x\right)$:

               1. diferenciamos $a + x$ miembro por miembro:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  2. La derivada de una constante $a$ es igual a cero.

                  Como resultado de: $1$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{1}{2 \sqrt{a + x}}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{1}{2 \sqrt{a + x}}$

         Como resultado de: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(- \sqrt{a + x} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{a + x}\right)\right)}$

   Como resultado de: $\frac{1}{2 \left(- \sqrt{a + x} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{a + x}\right)\right)} + \frac{\log{\left(- \sqrt{a + x} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{a + x}\right) \right)}}{2 \sqrt{x}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\log{\left(x \right)} + 2}{4 \sqrt{x}}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)} + 2}{4 \sqrt{x}}$