Derivada de x*sqrt(x)+(1/(x*(x^(1/3))))+3/x

1. diferenciamos $\left(\sqrt{x} x + \frac{1}{\sqrt[3]{x} x}\right) + \frac{3}{x}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\sqrt{x} x + \frac{1}{\sqrt[3]{x} x}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$

      2. Sustituimos $u = \sqrt[3]{x} x$.

      3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x} x$:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

            Como resultado de: $\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

      Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{3}{x^{2}}$

   Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$