Derivada de y=ln^4(tgx)

Solución

Ha introducido [src]

   4        
log (tan(x))

$$\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{4}$$

log(tan(x))^4

Solución detallada

Sustituimos $u = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ .
Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{3}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{8 \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{3}}{\sin{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{8 \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{3}}{\sin{\left(2 x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

     3         /       2   \
4*log (tan(x))*\1 + tan (x)/
----------------------------
           tan(x)

$$\frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{3}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                             /                  /       2   \   /       2   \            \
     2         /       2   \ |                3*\1 + tan (x)/   \1 + tan (x)/*log(tan(x))|
4*log (tan(x))*\1 + tan (x)/*|2*log(tan(x)) + --------------- - -------------------------|
                             |                       2                      2            |
                             \                    tan (x)                tan (x)         /

$$4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{2}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                /                                       2                  2                                                             2                                            \            
                |                          /       2   \      /       2   \                     2         /       2   \     /       2   \     2              /       2   \            |            
  /       2   \ |     2                  6*\1 + tan (x)/    9*\1 + tan (x)/ *log(tan(x))   4*log (tan(x))*\1 + tan (x)/   2*\1 + tan (x)/ *log (tan(x))   18*\1 + tan (x)/*log(tan(x))|            
4*\1 + tan (x)/*|4*log (tan(x))*tan(x) + ---------------- - ---------------------------- - ---------------------------- + ----------------------------- + ----------------------------|*log(tan(x))
                |                               3                        3                            tan(x)                            3                            tan(x)           |            
                \                            tan (x)                  tan (x)                                                        tan (x)                                          /

$$4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{2}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - \frac{9 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(x \right)}} - \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{2}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{18 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + 4 \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}^{2} \tan{\left(x \right)}\right) \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Derivada de y=ln^4(tgx)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución