Ecuación diferencial x(dy/dx)+(2x-1)/(x+1)y=x-1

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$x$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{\left(2 x - 1\right) y{\left(x \right)}}{x + 1}}{x} = \frac{x - 1}{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y' + P(x)y = Q(x)

donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{2 x - 1}{x \left(x + 1\right)}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{x}$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y' + P(x)y = 0

con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:

De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{2 x - 1}{x \left(x + 1\right)}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{2 x - 1}{x \left(x + 1\right)}\, dx = \left(- \log{\left(x \right)} + 3 \log{\left(x + 1 \right)}\right) + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{x e^{C_{1}}}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
$$y_{2} = - \frac{x e^{C_{2}}}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C x}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y' + P(x)y = Q(x)

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x

$$y = \frac{x C{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{3}}{x^{2}}$$
Es decir, C(x) =
$$\int \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{3}}{x^{2}}\, dx = \left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}\right) + Const$$
Solución detallada de la integral
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{x C{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{x \left(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + Const + \frac{1}{x}\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}$$