Sr Examen
Ecuación diferencial yy''-y'^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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2 2
/d \ d
- |--(y(x))| + ---(y(x))*y(x) = 0
\dx / 2
dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = 0$$
y*y'' - y'^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y'^{2}}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y'} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{1}{C_{1} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} - \int \frac{1}{C_{1} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}\, dx$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{dx}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y'^{2}}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y'} = Const - \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{1}{C_{1} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} - \int \frac{1}{C_{1} + \int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}\, dx$$
Clasificación
factorable
Liouville
Liouville Integral