Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d v} u{\left(v \right)} = - \frac{2 v}{u{\left(v \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(v \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(v \right)} = - 2 v$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{u{\left(v \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{u{\left(v \right)}}$$
obtendremos
$$u{\left(v \right)} \frac{d}{d v} u{\left(v \right)} = - 2 v$$
Con esto hemos separado las variables v y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dv,
entonces la ecuación será así
$$dv u{\left(v \right)} \frac{d}{d v} u{\left(v \right)} = - 2 dv v$$
o
$$du u{\left(v \right)} = - 2 dv v$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por v.
$$\int u\, du = \int \left(- 2 v\right)\, dv$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con vTomemos estas integrales
$$\frac{u^{2}}{2} = Const - v^{2}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(v \right)} = - \sqrt{C_{1} - 2 v^{2}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(v \right)} = \sqrt{C_{1} - 2 v^{2}}$$