Ecuación diferencial du/dt=(2t+1)/(2u-2)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} u{\left(t \right)} = \frac{2 t + 1}{2 u{\left(t \right)} - 2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = t + \frac{1}{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{u{\left(t \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{u{\left(t \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\left(u{\left(t \right)} - 1\right) \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} = t + \frac{1}{2}$$
Con esto hemos separado las variables t y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$dt \left(u{\left(t \right)} - 1\right) \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} = dt \left(t + \frac{1}{2}\right)$$
o
$$du \left(u{\left(t \right)} - 1\right) = dt \left(t + \frac{1}{2}\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(u - 1\right)\, du = \int \left(t + \frac{1}{2}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{u^{2}}{2} - u = Const + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(t \right)} = 1 - \sqrt{C_{1} + t^{2} + t}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(t \right)} = \sqrt{C_{1} + t^{2} + t} + 1$$