Sr Examen
Ecuación diferencial dt=dy+csc(y)dt
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
1 = --(y(t)) + csc(y(t))
dt
$$1 = \csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}$$
1 = csc(y) + y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1} = - dt$$
o
$$\frac{dy}{\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1} = - dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{\csc{\left(y \right)} - 1}\, dy = \int \left(-1\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{\csc{\left(y \right)} - 1}\, dy = Const - t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(t \right)}} \frac{1}{\csc{\left(y \right)} - 1}\, dy = C_{1} - t$$
$$\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1} = - dt$$
o
$$\frac{dy}{\csc{\left(y{\left(t \right)} \right)} - 1} = - dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{\csc{\left(y \right)} - 1}\, dy = \int \left(-1\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\int \frac{1}{\csc{\left(y \right)} - 1}\, dy = Const - t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(t \right)}} \frac{1}{\csc{\left(y \right)} - 1}\, dy = C_{1} - t$$
Respuesta
[src]
y(t)
/
|
| 1
| ----------- dy = C1 - t
| -1 + csc(y)
|
/
$$\int\limits^{y{\left(t \right)}} \frac{1}{\csc{\left(y \right)} - 1}\, dy = C_{1} - t$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral