Ecuación diferencial dv/dt=-0,2(v+v^2)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} v{\left(t \right)} = - \frac{v^{2}{\left(t \right)}}{5} - \frac{v{\left(t \right)}}{5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(v)*v' = f2(x)*g2(v),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(v \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(v \right)} = \left(v{\left(t \right)} + 1\right) v{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(v)/g2(v)*v'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(v)
$$\left(v{\left(t \right)} + 1\right) v{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} v{\left(t \right)}}{\left(v{\left(t \right)} + 1\right) v{\left(t \right)}} = - \frac{1}{5}$$
Con esto hemos separado las variables t y v.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} v{\left(t \right)}}{\left(v{\left(t \right)} + 1\right) v{\left(t \right)}} = - \frac{dt}{5}$$
o
$$\frac{dv}{\left(v{\left(t \right)} + 1\right) v{\left(t \right)}} = - \frac{dt}{5}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por v,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{v \left(v + 1\right)}\, dv = \int \left(- \frac{1}{5}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con v
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(v \right)} - \log{\left(v + 1 \right)} = Const - \frac{t}{5}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica v.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{v_{1}} = t - 5 \log{\left(v{\left(t \right)} + 1 \right)} + 5 \log{\left(v{\left(t \right)} \right)} = C_{1}$$