Ecuación diferencial dv/dt=(500-(5v^2/7))/50

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} v{\left(t \right)} = 10 - \frac{v^{2}{\left(t \right)}}{70}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(v)*v' = f2(x)*g2(v),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(v \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(v \right)} = \frac{v^{2}{\left(t \right)}}{70} - 10$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(v)/g2(v)*v'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(v)
$$\frac{v^{2}{\left(t \right)}}{70} - 10$$
obtendremos
$$\frac{70 \frac{d}{d t} v{\left(t \right)}}{v^{2}{\left(t \right)} - 700} = -1$$
Con esto hemos separado las variables t y v.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{70 dt \frac{d}{d t} v{\left(t \right)}}{v^{2}{\left(t \right)} - 700} = - dt$$
o
$$\frac{70 dv}{v^{2}{\left(t \right)} - 700} = - dt$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por v,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{70}{v^{2} - 700}\, dv = \int \left(-1\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con v
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sqrt{7} \log{\left(v - 10 \sqrt{7} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{7} \log{\left(v + 10 \sqrt{7} \right)}}{2} = Const - t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica v.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{v_{1}} = v{\left(t \right)} = - \frac{10 \sqrt{7}}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{\sqrt{7} t}{7} \right)}}$$