Ecuación diferencial y'=(2x+y-3)/(x-2y+1)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{2 x + y{\left(x \right)} - 3}{x - 2 y{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 1}{x - 1}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} + 1$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{2 x}{x - 2 \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} + \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{\left(x - 1\right) u{\left(x \right)} + 1}{x - 2 \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} + u{\left(x \right)} + \frac{3}{x - 2 \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 1} = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 2}{2 u{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 2}{2 u{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x - 1$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 2}{\left(x - 1\right) \left(2 u{\left(x \right)} - 1\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 2}{2 u{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(2 u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = - \frac{1}{x - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(2 u{\left(x \right)} - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = - \frac{dx}{x - 1}$$
o
$$\frac{du \left(2 u{\left(x \right)} - 1\right)}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} + 1\right)} = - \frac{dx}{x - 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 u - 1}{2 \left(u^{2} + 1\right)}\, du = \int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 1}{x - 1}$$
$$\frac{\log{\left(1 + \frac{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y{\left(x \right)} - 1}{x - 1} \right)}}{2} = Const - \log{\left(x - 1 \right)}$$