Sr Examen
Ecuación diferencial ysin(3x+5)dx=y^2dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
sin(5 + 3*x)*y(x) = y (x)*--(y(x))
dx
$$y{\left(x \right)} \sin{\left(3 x + 5 \right)} = y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y*sin(3*x + 5) = y^2*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- \sin{\left(3 x + 5 \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{\cos{\left(3 x + 5 \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} - 6 \cos{\left(3 x + 5 \right)}}}{3}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} - 6 \cos{\left(3 x + 5 \right)}}}{3}$$
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(3 x + 5 \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- \sin{\left(3 x + 5 \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{\cos{\left(3 x + 5 \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} - 6 \cos{\left(3 x + 5 \right)}}}{3}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} - 6 \cos{\left(3 x + 5 \right)}}}{3}$$
Respuesta
[src]
y(x) = 0
$$y{\left(x \right)} = 0$$
_____________________
-\/ C1 - 6*cos(5 + 3*x)
y(x) = -------------------------
3
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} - 6 \cos{\left(3 x + 5 \right)}}}{3}$$
_____________________
\/ C1 - 6*cos(5 + 3*x)
y(x) = -----------------------
3
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} - 6 \cos{\left(3 x + 5 \right)}}}{3}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral