Tenemos la ecuación:
$$- \frac{t - y{\left(t \right)}}{t + y{\left(t \right)}} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(t \right)} = \frac{y{\left(t \right)}}{t}$$
y porque
$$y{\left(t \right)} = t u{\left(t \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = t \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} + u{\left(t \right)}$$
sustituimos
$$\frac{t u{\left(t \right)}}{t u{\left(t \right)} + t} - \frac{t}{t u{\left(t \right)} + t} + \frac{d}{d t} t u{\left(t \right)} = 0$$
o
$$t \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} + \frac{t u{\left(t \right)}}{t u{\left(t \right)} + t} - \frac{t}{t u{\left(t \right)} + t} + u{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{t}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{- u^{2}{\left(t \right)} - 2 u{\left(t \right)} + 1}{u{\left(t \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{- u^{2}{\left(t \right)} - 2 u{\left(t \right)} + 1}{u{\left(t \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\left(u{\left(t \right)} + 1\right) \frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{u^{2}{\left(t \right)} + 2 u{\left(t \right)} - 1} = - \frac{1}{t}$$
Con esto hemos separado las variables t y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \left(u{\left(t \right)} + 1\right) \frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{u^{2}{\left(t \right)} + 2 u{\left(t \right)} - 1} = - \frac{dt}{t}$$
o
$$\frac{du \left(u{\left(t \right)} + 1\right)}{u^{2}{\left(t \right)} + 2 u{\left(t \right)} - 1} = - \frac{dt}{t}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{u + 1}{u^{2} + 2 u - 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{t}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con tTomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u^{2} + 2 u - 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(t \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(t \right)} = - \sqrt{\frac{C_{1}}{t^{2}} + 2} - 1$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(t \right)} = \sqrt{\frac{C_{1}}{t^{2}} + 2} - 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(t \right)} = t u{\left(t \right)}$$
$$y1 = y(t) = t \left(- \sqrt{\frac{C_{1}}{t^{2}} + 2} - 1\right)$$
$$y2 = y(t) = t \left(\sqrt{\frac{C_{1}}{t^{2}} + 2} - 1\right)$$