Sr Examen
Ecuación diferencial dy/y=dx/x-1
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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d --(y(x)) dx 1 1 -------- = - - -- y(x) x dx
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{dx}$$
y'/y = 1/x - 1/dx
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = dx \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{dx}\right)$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = dx \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{dx}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{dx}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{dx \log{\left(x \right)} - x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} x e^{- \frac{x}{dx}}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{dx}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = dx \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{dx}\right)$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = dx \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{dx}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{dx}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \frac{dx \log{\left(x \right)} - x}{dx}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} x e^{- \frac{x}{dx}}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral