Sr Examen

Gráfico de la función y = -x*exp(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           x
f(x) = -x*e 
f(x)=xexf{\left(x \right)} = - x e^{x}
f = (-x)*exp(x)
Gráfico de la función
0-90-80-70-60-50-40-30-20-10-1000.00.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex=0- x e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=95.1266472537626x_{1} = -95.1266472537626
x2=87.1541152286569x_{2} = -87.1541152286569
x3=107.094223645316x_{3} = -107.094223645316
x4=91.1396752246407x_{4} = -91.1396752246407
x5=69.2447823410302x_{5} = -69.2447823410302
x6=115.076847342498x_{6} = -115.076847342498
x7=121.065503606275x_{7} = -121.065503606275
x8=39.6870583075465x_{8} = -39.6870583075465
x9=101.109329237227x_{9} = -101.109329237227
x10=75.2086687051389x_{10} = -75.2086687051389
x11=85.1619388762717x_{11} = -85.1619388762717
x12=57.3470343910748x_{12} = -57.3470343910748
x13=81.1789726997072x_{13} = -81.1789726997072
x14=71.2319064024203x_{14} = -71.2319064024203
x15=32.0913241206348x_{15} = -32.0913241206348
x16=41.6261544568938x_{16} = -41.6261544568938
x17=117.072920781941x_{17} = -117.072920781941
x18=63.2896724119287x_{18} = -63.2896724119287
x19=55.369883839131x_{19} = -55.369883839131
x20=0x_{20} = 0
x21=99.1148331129772x_{21} = -99.1148331129772
x22=45.5287883412543x_{22} = -45.5287883412543
x23=65.2735421114241x_{23} = -65.2735421114241
x24=105.099039845199x_{24} = -105.099039845199
x25=77.1981473783759x_{25} = -77.1981473783759
x26=59.3262172000187x_{26} = -59.3262172000187
x27=73.2198969347223x_{27} = -73.2198969347223
x28=93.1329980618501x_{28} = -93.1329980618501
x29=67.2586229734047x_{29} = -67.2586229734047
x30=89.146704685936x_{30} = -89.146704685936
x31=113.080930865701x_{31} = -113.080930865701
x32=103.10407015753x_{32} = -103.10407015753
x33=35.8463765939876x_{33} = -35.8463765939876
x34=79.1882678183563x_{34} = -79.1882678183563
x35=51.4230249783974x_{35} = -51.4230249783974
x36=111.085180982879x_{36} = -111.085180982879
x37=43.5740005056864x_{37} = -43.5740005056864
x38=119.06914228288x_{38} = -119.06914228288
x39=33.9540517145623x_{39} = -33.9540517145623
x40=83.1702113647074x_{40} = -83.1702113647074
x41=47.4891864944529x_{41} = -47.4891864944529
x42=53.3950840173982x_{42} = -53.3950840173982
x43=61.3071694941258x_{43} = -61.3071694941258
x44=109.089608132217x_{44} = -109.089608132217
x45=37.7592416454249x_{45} = -37.7592416454249
x46=97.1205993527235x_{46} = -97.1205993527235
x47=49.4541901054407x_{47} = -49.4541901054407
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x)*exp(x).
0e0- 0 e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xexex=0- x e^{x} - e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
      -1 
(-1, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = -1
Decrece en los intervalos
(,1]\left(-\infty, -1\right]
Crece en los intervalos
[1,)\left[-1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+2)ex=0- \left(x + 2\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,2]\left(-\infty, -2\right]
Convexa en los intervalos
[2,)\left[-2, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(xex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- x e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(xex)=\lim_{x \to \infty}\left(- x e^{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x)*exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(ex)=\lim_{x \to \infty}\left(- e^{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex=xex- x e^{x} = x e^{- x}
- No
xex=xex- x e^{x} = - x e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar