Sr Examen
Ecuación diferencial xdy/ln(y)+ydx/ln(x)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
x*--(y(x))
y(x) dx
------ + ---------- = 0
log(x) log(y(x))
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
x*y'/log(y) + y/log(x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{\log{\left(x \right)}}}$$
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{y{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x \log{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{\log{\left(x \right)}}}$$
Respuesta
[src]
C1
------
log(x)
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{\log{\left(x \right)}}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)