Sr Examen
Ecuación diferencial yy'+xe^y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
y(x) d
x*e + --(y(x))*y(x) = 0
dx
$$x e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*exp(y) + y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{e^{y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{e^{y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x$$
o
$$dy y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y e^{- y}\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\left(- y - 1\right) e^{- y} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{2 e^{1}}\right) - 1$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} - \frac{x^{2}}{2 e^{1}}\right) - 1$$
$$x e^{y{\left(x \right)}} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{e^{y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{e^{y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x$$
o
$$dy y{\left(x \right)} e^{- y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y e^{- y}\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\left(- y - 1\right) e^{- y} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{2 e^{1}}\right) - 1$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} - \frac{x^{2}}{2 e^{1}}\right) - 1$$
Respuesta
[src]
/ 2 -1\
| x *e |
y(x) = -1 - W|C1 + ------|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{2 e}\right) - 1$$
/ 2 -1\
| x *e |
y(x) = -1 - W|C1 - ------|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = - W\left(C_{1} - \frac{x^{2}}{2 e}\right) - 1$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral