Ecuación diferencial xe^xyy'+ye^xy-4x^3=0

Tenemos la ecuación:
$$- 4 x^{3} + x y{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} e^{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$- 4 x^{3} + u{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u^{2}{\left(x \right)} e^{x}}{x^{2}} = 0$$
o
$$- 4 x^{3} + \frac{u{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 4 x^{4} e^{- x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 4 x^{4} e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 4 dx x^{4} e^{- x}$$
o
$$du u{\left(x \right)} = 4 dx x^{4} e^{- x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int u\, du = \int 4 x^{4} e^{- x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{u^{2}}{2} = Const + \left(- 4 x^{4} - 16 x^{3} - 48 x^{2} - 96 x - 96\right) e^{- x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - 4 x^{4} e^{- x} - 16 x^{3} e^{- x} - 48 x^{2} e^{- x} - 96 x e^{- x} - 96 e^{- x}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - 4 x^{4} e^{- x} - 16 x^{3} e^{- x} - 48 x^{2} e^{- x} - 96 x e^{- x} - 96 e^{- x}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - 4 x^{4} e^{- x} - 16 x^{3} e^{- x} - 48 x^{2} e^{- x} - 96 x e^{- x} - 96 e^{- x}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - 4 x^{4} e^{- x} - 16 x^{3} e^{- x} - 48 x^{2} e^{- x} - 96 x e^{- x} - 96 e^{- x}}}{x}$$