Ecuación diferencial (6x+4y+3)dx+(3x+2y+2)dy=0

Tenemos la ecuación:
$$3 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 6 x + 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 3 x + 2 y{\left(x \right)} + 2$$
y porque
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2}$$
sustituimos
$$3 x \frac{d}{d x} \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1\right) + 2 \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1\right) \frac{d}{d x} \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1\right) + 2 u{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1\right) - 1 = 0$$
o
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{2 - u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{2 - u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 2} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 2} = dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 2} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{u - 2}\right)\, du = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- u - 2 \log{\left(u - 2 \right)} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = 2 W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{- x}}}{2 e^{1}}\right) + 2$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = 2 W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{- x}}}{2 e^{1}}\right) + 2$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2} - 1$$
$$y1 = y(x) = - \frac{3 x}{2} + W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} e^{- x}}}{2 e}\right)$$
$$y2 = y(x) = - \frac{3 x}{2} + W\left(\frac{\sqrt{C_{1} e^{- x}}}{2 e}\right)$$