Ecuación diferencial dy/dx=9+6y+y^2

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 6 y{\left(x \right)} + 9$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 6 y{\left(x \right)} - 9$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 6 y{\left(x \right)} - 9$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 6 y{\left(x \right)} + 9} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 6 y{\left(x \right)} + 9} = - dx$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 6 y{\left(x \right)} + 9} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} + 6 y + 9}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y + 3} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{- 3 C_{1} + 3 x + 1}{C_{1} - x}$$