Sr Examen
Ecuación diferencial dx*sqrt(y^2+5)+dy*(4*x^2*y+4*y)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________
/ 2 d 2 d
\/ 5 + y (x) + 4*--(y(x))*y(x) + 4*x *--(y(x))*y(x) = 0
dx dx
$$4 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5} + 4 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
4*x^2*y*y' + sqrt(y^2 + 5) + 4*y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$4 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5} + 4 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}}{4 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}}{4 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{4 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{4 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{4 dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{4 y}{\sqrt{y^{2} + 5}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$4 \sqrt{y^{2} + 5} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 80}}{4}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 80}}{4}$$
$$4 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5} + 4 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}}{4 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}}{4 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{4 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{4 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{4 dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{4 y}{\sqrt{y^{2} + 5}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$4 \sqrt{y^{2} + 5} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 80}}{4}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 80}}{4}$$
Respuesta
[src]
_____________________________________
/ 2 2
-\/ -80 + C1 + atan (x) - 2*C1*atan(x)
y(x) = ------------------------------------------
4
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 80}}{4}$$
_____________________________________
/ 2 2
\/ -80 + C1 + atan (x) - 2*C1*atan(x)
y(x) = ----------------------------------------
4
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 80}}{4}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral