Sr Examen
Ecuación diferencial dy*(e^(2*x)+1)*y^2=dx*e^x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2 d 2*x x
y (x)*--(y(x)) + y (x)*--(y(x))*e = e
dx dx
$$y^{2}{\left(x \right)} e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
y^2*exp(2*x)*y' + y^2*y' = exp(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y^{2}{\left(x \right)} e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{2 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{2 y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- 2 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 2 dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\cosh{\left(x \right)}}$$
o
$$- 2 dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\cosh{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- 2 y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2 y^{3}}{3} = Const - 2 \operatorname{atan}{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}}{2}$$
$$y^{2}{\left(x \right)} e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{2 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{2 y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- 2 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 2 dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\cosh{\left(x \right)}}$$
o
$$- 2 dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\cosh{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- 2 y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{2 y^{3}}{3} = Const - 2 \operatorname{atan}{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}}{2}$$
Respuesta
[src]
_________________________________
/ / x \
/ | - |
/ | 2 |
/ | 1 e |
y(x) = / C1 - 3*atan|------ - ---------|
/ | x x -x |
/ |1 + e - ---|
3 / | 2 2 |
\/ \ e + e /
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}$$
_______________________________
/ / x \
/ | - |
/ | 2 |
/ | 1 e | / 3 ___ 5/6\
/ C1 - atan|------ - ---------| *\- \/ 3 - I*3 /
/ | x x -x |
/ |1 + e - ---|
3 / | 2 2 |
\/ \ e + e /
y(x) = ------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}}{2}$$
_______________________________
/ / x \
/ | - |
/ | 2 |
/ | 1 e | / 3 ___ 5/6\
/ C1 - atan|------ - ---------| *\- \/ 3 + I*3 /
/ | x x -x |
/ |1 + e - ---|
3 / | 2 2 |
\/ \ e + e /
y(x) = ------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}} \right)}}}{2}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral