Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación 2*x^3*y'=(2*x^2-y^2)*y
- Ecuación y'=-2+y^2/x^2
- Ecuación y''-y=e^x
- Ecuación x^2*y'=x*y+y^2
- Derivada de:
-
dy/dx
- Integral de d{x}:
- e^(x+y)
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=e^(x+y)
- dy dividir por dx es igual a e en el grado (x más y)
- dy/dx=e(x+y)
- dy/dx=ex+y
- dy/dx=e^x+y
- dy dividir por dx=e^(x+y)
-
Expresiones semejantes
- d^2*y/dx^2+2*((d*y)/(d*x))-3*y=2*e^(-3*x)*sin(x)
- dy/dx=e^(x-y)
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy*x^2/dx=-x*y+y
- dy*(e^(2*x)+1)*y^2=dx*e^x
- dy/y=dx/x
- dy/dx=1/(2*x)
- dy/dx+y/x=ex
- dx
- dx*sqrt(y^2+5)+dy*(4*x^2*y+4*y)=0
- dx*(x*y^2+y)+dy*(x^2*y+x-1)=0
- dx+(xy-y^3)dy=0
- dx*sqrt(y^2+2)+dy*(3*x^2*y+3*y)=0
- dx*(-x^3+x*y^5+1)+dy*(5*x^2*y^4/2-y)=0
Ecuación diferencial dy/dx=e^(x+y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d x + y(x) --(y(x)) = e dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x + y{\left(x \right)}}$$
y' = exp(x + y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- e^{x + y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$- e^{x} e^{- x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - e^{u{\left(x \right)}} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- e^{u{\left(x \right)}} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{e^{u{\left(x \right)}} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{e^{u{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{e^{u{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{e^{u} + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- u + \log{\left(e^{u} + 1 \right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - u{\left(x \right)} + \log{\left(e^{u{\left(x \right)}} + 1 \right)} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} - x$$
$$- e^{x + y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$- e^{x} e^{- x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - e^{u{\left(x \right)}} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- e^{u{\left(x \right)}} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{e^{u{\left(x \right)}} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{e^{u{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{e^{u{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{e^{u} + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- u + \log{\left(e^{u} + 1 \right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - u{\left(x \right)} + \log{\left(e^{u{\left(x \right)}} + 1 \right)} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = C_{1} - x$$
Respuesta
[src]
/ -1 \
y(x) = log|-------|
| x|
\C1 + e /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + e^{x}} \right)}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral