Sr Examen
Ecuación diferencial (d^2y/(dt^2))+(dy/(dt))-6x=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2
d d
-6*x + --(y(t)) + ---(y(t)) = 0
dt 2
dt
$$- 6 x + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 0$$
-6*x + y' + y'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 6 x + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 1$$
$$q = 0$$
$$s = - 6 x$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 0$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t} + C_{2}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(-t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = 1 (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = 6 x$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} 1 \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- t} = 6 x$$
o
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$- e^{- t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 6 x$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - 6 x e^{t}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 6 x$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- 6 x e^{t}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int 6 x\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} - 6 x e^{t}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + 6 t x$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- t} + C_{4} + 6 t x - 6 x$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$- 6 x + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 1$$
$$q = 0$$
$$s = - 6 x$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 0$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k_{1} t} + C_{2} e^{k_{2} t}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- t} + C_{2}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(-t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = 1 (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = 6 x$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} 1 \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- t} = 6 x$$
o
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$- e^{- t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 6 x$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - 6 x e^{t}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 6 x$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- 6 x e^{t}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int 6 x\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} - 6 x e^{t}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + 6 t x$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- t} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- t} + C_{4} + 6 t x - 6 x$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth order reducible
nth linear constant coeff variation of parameters Integral