Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{\left(2 x^{3} - y^{3}{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{x \left(2 x^{3} - 3 y^{3}{\left(x \right)}\right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$\frac{x^{4} u^{4}{\left(x \right)}}{- 3 x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + 2 x^{4}} - \frac{2 x^{4} u{\left(x \right)}}{- 3 x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + 2 x^{4}} + \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$\frac{x^{4} u^{4}{\left(x \right)}}{- 3 x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + 2 x^{4}} - \frac{2 x^{4} u{\left(x \right)}}{- 3 x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + 2 x^{4}} + x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{2 u^{4}{\left(x \right)}}{3 u^{3}{\left(x \right)} - 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{2 u^{4}{\left(x \right)}}{3 u^{3}{\left(x \right)} - 2}$$
obtendremos
$$\frac{\left(3 u^{3}{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(3 u^{3}{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du \left(3 u^{3}{\left(x \right)} - 2\right)}{2 u^{4}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{3 u^{3} - 2}{2 u^{4}}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$\frac{3 \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{1}{3 u^{3}} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{C_{1}}{3} + \frac{W\left(- \frac{2 x^{2} e^{- C_{1}}}{3}\right)}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = \sqrt[3]{x} e^{\frac{C_{1}}{3} + \frac{W\left(- \frac{2 x^{2} e^{- C_{1}}}{3}\right)}{3}}$$