Sr Examen
Ecuación diferencial y''-8*y'+20*y=5*e^(4*x)*x*sin(2*x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 4*x
- 8*--(y(x)) + 20*y(x) + ---(y(x)) = 5*x*e *sin(2*x)
dx 2
dx
$$20 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
20*y - 8*y' + y'' = 5*x*exp(4*x)*sin(2*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$20 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -8$$
$$q = 20$$
$$s = - 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 8 k + 20 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 4 - 2 i$$
$$k_{2} = 4 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(4 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(4 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(4 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(4 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(4 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(4 + 2 i\right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
o
$$e^{x \left(4 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(4 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(4 - 2 i\right) e^{x \left(4 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(4 + 2 i\right) e^{x \left(4 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{5 i x e^{2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{5 i x e^{- 2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{5 i x e^{2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{5 i x e^{- 2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{5 x^{2}}{16} + \frac{\left(- 20 i x + 5\right) e^{4 i x}}{128}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{5 x^{2}}{16} + \frac{\left(20 i x + 5\right) e^{- 4 i x}}{128}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{4 x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{4 x} e^{2 i x} - \frac{5 x^{2} e^{4 x} e^{2 i x}}{16} - \frac{5 x^{2} e^{4 x} e^{- 2 i x}}{16} - \frac{5 i x e^{4 x} e^{2 i x}}{32} + \frac{5 i x e^{4 x} e^{- 2 i x}}{32} + \frac{5 e^{4 x} e^{2 i x}}{128} + \frac{5 e^{4 x} e^{- 2 i x}}{128}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$20 y{\left(x \right)} - 8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -8$$
$$q = 20$$
$$s = - 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 8 k + 20 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 4 - 2 i$$
$$k_{2} = 4 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(4 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(4 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(4 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(4 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(4 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(4 + 2 i\right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
o
$$e^{x \left(4 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(4 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(4 - 2 i\right) e^{x \left(4 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(4 + 2 i\right) e^{x \left(4 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 5 x e^{4 x} \sin{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{5 i x e^{2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{5 i x e^{- 2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{5 i x e^{2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{5 i x e^{- 2 i x} \sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{5 x^{2}}{16} + \frac{\left(- 20 i x + 5\right) e^{4 i x}}{128}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{5 x^{2}}{16} + \frac{\left(20 i x + 5\right) e^{- 4 i x}}{128}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(4 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{4 x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{4 x} e^{2 i x} - \frac{5 x^{2} e^{4 x} e^{2 i x}}{16} - \frac{5 x^{2} e^{4 x} e^{- 2 i x}}{16} - \frac{5 i x e^{4 x} e^{2 i x}}{32} + \frac{5 i x e^{4 x} e^{- 2 i x}}{32} + \frac{5 e^{4 x} e^{2 i x}}{128} + \frac{5 e^{4 x} e^{- 2 i x}}{128}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
// 2\ \
|| 5*x | / 5*x\ | 4*x
y(x) = ||C1 - ----|*cos(2*x) + |C2 + ---|*sin(2*x)|*e
\\ 8 / \ 16/ /
$$y{\left(x \right)} = \left(\left(C_{1} - \frac{5 x^{2}}{8}\right) \cos{\left(2 x \right)} + \left(C_{2} + \frac{5 x}{16}\right) \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{4 x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral