Ecuación diferencial 2xy*y'=2y^2+sqrt(x^2+y^2)

Tenemos la ecuación:
$$2 x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \sqrt{x^{2} + y^{2}{\left(x \right)}} - 2 y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- 2 x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + 2 x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - \sqrt{x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2}} = 0$$
o
$$2 x^{3} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \sqrt{x^{2} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} + 1}}{2 u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} + 1}}{2 u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{2 du u{\left(x \right)}}{\sqrt{u^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 u}{\sqrt{u^{2} + 1}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- 2 \sqrt{u^{2} + 1} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x - 4 x^{2} + 1}}{2 x}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x - 4 x^{2} + 1}}{2 x}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x - 4 x^{2} + 1}}{2}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x - 4 x^{2} + 1}}{2}$$