Tenemos la ecuación:
$$z^{2}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} z{\left(t \right)} = t^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(z)*z' = f2(x)*g2(z),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(z \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - t^{2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(z \right)} = - \frac{1}{z^{2}{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(z)/g2(z)*z'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(z)
$$- \frac{1}{z^{2}{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$- z^{2}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} z{\left(t \right)} = - t^{2}$$
Con esto hemos separado las variables t y z.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- dt z^{2}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} z{\left(t \right)} = - dt t^{2}$$
o
$$- dz z^{2}{\left(t \right)} = - dt t^{2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por z,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- z^{2}\right)\, dz = \int \left(- t^{2}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con zSolución detallada de la integral con tTomemos estas integrales
$$- \frac{z^{3}}{3} = Const - \frac{t^{3}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica z.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{z_{1}} = z{\left(t \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + t^{3}}$$
$$\operatorname{z_{2}} = z{\left(t \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + t^{3}}}{2}$$
$$\operatorname{z_{3}} = z{\left(t \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + t^{3}}}{2}$$